Matlab下求解方程的常规方法指南

实验室的同学在科研中遇到了求解超越方程时结果精度控制的问题，力求给出精确解。阿伟由此学习了 Matlab 中求解方程的一般方法。本文介绍了 solve( )，fsolve( )，fzero( ) 这三个解方程常规方法，以及给出了解复杂超越方程的方法示例。

Matlab 中求解简单方程的最一般方法是使用 solve 函数，话不多说，直接上例子。

例：求解$$x^2-7x+12=0$$代码为

结果为

注：(1) syms x; 这一句是声明参数。 (2) s = solve(eq,x) 这里声明了以x为变量求解。同时注意到结尾没加分号，这是为了直接在命令行看到结果。

例：求解$$ax^2+by+c=0$$$$ax+2y=4$$

其中 x, y 是变量。代码为

结果为

注：(1) 最后 x,y 分别会输出两个结果，分别对应 x1,x2 与 y1,y2。 (2) 多元方程可仿照求解。

fsolve( ) 函数通常用于数值求方程或方程组的解，更常用于求解非线性方程组。

其中，fun 是待求解方程；x0 是初值(初值通常设定在解的附近，求解器其实是在给出的初值附近求出方程的局部最优解)；options 是一些设定要求，可以用 optimset 函数来实现；exitflag 用以描述出口条件 (exit condition)，exitflag 返回的数字及其含义分别是1 fsolve converged to a root.2 Change in X too small.3 Change in residual norm too small.4 Computed search direction too small.0 Too many function evaluations or iterations.-1 Stopped by output/plot function.-2 Converged to a point that is not a root.-3 Trust region radius too small (Trust-region-dogleg).从上面看，当 exitflag 是 1 的时候是最理想的结果，2，3 也可接受，负数则偏差太大或直接错误。

例：求解$$sin(x)-0.5=0$$代码为

结果为

保存以 myfun.m 为名的 .m 文件

然后调用函数

结果为

结果为

其中 fval 为真实值与拟合值之间的差，从结果来看是非常理想的。

例：求下列非线性方程组在 (0.5，0.5) 附近的数值解

$$x-0.6sin(x)-0.3cos(y)=0$$$$y-0.6cos(x)+0.3sin(y)=0$$

代码为myfun.m

然后调用函数

结果为

注意：调用函数语句输入 ‘myfun’，要加单引号，不按照这么输入可能会报错。

或者调用函数语句也可以写成

Matlab中提供了一个 fzero( ) 函数，可以用来求单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为

其中 fname 是待求根的函数文件名。x0 为搜索的起点，一个函数可能有多个根，但 fzero 函数只给出离 x0 最近的那个根。tol 控制结果的相对精度，默认时取 tol=eps。trace指迭代信息是否在运算中显示，为1时显示，为0时不显示，默认时取 trace=0。

例：求解下列方程在 x=0.5 附近的根$$x^2-10x+2=0$$代码为myfun.m

然后调用函数

结果为

(A) solve 一般解线性方程，而 fsolve 一般解非线性方程。(B) solve 函数的局限性：对于非多项式方程，只能求出一个解，对于稍许复杂的方程，求解结果出现很大误差，求解复杂的多项式方程时，可能会产生错误的求解结果，可能无法求解，且非常耗时，求解超越方程时，只能返回一个解或者可能返回错误解。(C) fsolve 函数小结：fsolve 可以求解方程(组) 的实数根和复数根，fsolve 采用迭代的数值算法，速度快，给定不同的初值，可以求得不同的根(局部寻根),初值给的不好，可能导致求解失败。关于初值如何给定的问题(1) 一元/ 二元方程(组)，通过图解法，可以得到根的个数，并粗略地估计出根的值，用做 fsolve 的初值。(2) 根据方程组中变量的实际意义，合适地给出初值。例如，时间/ 长度/ 质量等物理量，应该大于 0。(3) 通过更多的练习和经验积累，自然会见多识广。

Matlab 中使用 solve( )，fsolve( )，fzero( )，可以求解一般的方程或方程组，但是当求解较为复杂的超越方程时，上述方法大概率是得不出理想结果的。对于复杂的超越方程的求解，阿伟同学建议花点时间写一套完整的算法。这里给出了 Matlab 中一些全局优化相关函数示例。

Matlab 中提供了粒子群优化算法 particleswarmx = particleswarm(fun,nvars) attempts to find a vector x that achieves a local minimum of fun. nvars is the dimension (number of design variables) of fun.大意是：粒子群优化算法目标是求解函数的局部最小值。

x = particleswarm(fun,nvars) attempts to find a vector x that achieves a local minimum of fun. nvars is the dimension (number of design variables) of fun.

x = particleswarm(fun,nvars,lb,ub) defines a set of lower and upper bounds on the design variables, x, so that a solution is found in the range lb ≤x≤ ub.

x = particleswarm(fun,nvars,lb,ub,options) minimizes with the default optimization parameters replaced by values in options. Set lb = [] and ub = [] if no bounds exist.

x = particleswarm(problem) finds the minimum for problem, where problem is a structure.

[x,fval,exitflag,output] = particleswarm(___), for any input arguments described above, returns:

Matlab 中提供了创建优化问题结构算法：createOptimProblem

problem = createOptimProblem('solverName') creates an empty optimization problem structure for the solverName solver.

problem = createOptimProblem('solverName','ParameterName',ParameterValue,...) accepts one or more comma-separated parameter name/value pairs. Specify ParameterName inside single quotes.

solverName: Name of the solver. For a GlobalSearch problem, use ‘fmincon’. For a MultiStart problem, use ‘fmincon’, ‘fminunc’, ‘lsqcurvefit’ or ‘lsqnonlin’.

A GlobalSearch object contains properties (options) that affect how run repeatedly runs a local solver to generate a GlobalOptimSolution object. When run, the solver attempts to locate a solution that has the lowest objective function value.大意是：GlobalSearch( ) 算法功能是在全局范围内寻找目标函数最小值。

gs = GlobalSearch creates gs, a GlobalSearch solver with its properties set to the defaults.

gs = GlobalSearch(Name,Value) sets properties using name-value pairs.

gs = GlobalSearch(oldGS,Name,Value) creates a copy of the oldGS GlobalSearch solver, and sets properties using name-value pairs.

gs = GlobalSearch(ms) creates gs, a GlobalSearch solver, with common property values from the ms MultiStart solver.

该命令是运行 GlobalSearch 以找到问题的解决方案或多个本地解决 problem 方案。

该命令在运行 GlobalSearch 后，还会返回目标函数值在 x 点出找到的最佳值。

以下方程$$F_1(x)=(x_1+1)(10-x_1)\frac{1+x^2_{2}}{1+x^2_{2}+x_2}$$$$F_2(x)=(x_2+2)(20-x_2)\frac{1+x^2_{1}}{1+x^2_{1}+x_1}$$

该方程有四组解，分别是

试用 GlobalSearch 方法得出 (-1，-2) 这组解

代码为

运行结果为